Von den Sternen, die wir mit bloßem Auge am Nachthimmel sehen können, sind die meisten Doppelsterne oder sogar Mehrfachsterne. Von ihnen liegen einige zufällig nahe bei der Sichtlinie des Beobachters (optische Doppelsterne), doch etwa die Hälfte der Sterne unserer Galaxie befindet sich in einem Doppel- oder Mehrfachsternsystem, in denen sie ihren gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen (physische Doppelsterne). In einigen Doppelsternsystemen wurden Planeten entdeckt, beispielsweise in 16 Cygni B und τ Bootis. Und bereits die sonnennächsten Sterne bilden ein Mehrfachsternsystem: Alpha Centauri.

Die Bahnen von Planeten in Mehrfachsternsystemen werden im Allgemeinen keine Kreise oder Ellipsen sein, denn da sie der Schwerkraft mehrerer sich umkreisender Sterne folgen müssen, bewegen sie sich entsprechend chaotisch und können sogar in einen ihrer Sterne stürzen oder aus dem Sternsystem herausgeschleudert werden. Die Abstände solcher Planeten mit chaotischen Bahnen zu ihren Sternen schwanken ständig und ebenso ihre Oberflächentemperaturen. Da sich unter solchen Bedingungen Leben vermutlich nur schwer entwickeln kann, ist es interessant zu wissen, unter welchen Bedingungen die Planeten in Doppelsternsystemen mehr oder weniger stabile Bahnen besitzen.

Stabile Planetenbahnen in einem Doppelsternsystem (gelb, orange). Die Sterne bewegen sich um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. A: Der Planet (schwarz) umkreist einen der Sterne nahe genug. B: Der Planet umkreist beide Sterne ausreichend weit entfernt. C: Der Planet befindet sich im Bereich der so genannten Librationspunkte (Lagrange-Punkte) L4 oder L5. Er bildet mit den Sternen ein gleichseitiges Dreieck und umkreist zusammen mit ihnen deren Schwerpunkt (SP). - Die Bahnen A, B und C sind unter bestimmten Bedingungen weit gehend stabil.

Bedingungen für stabile Planetenbahnen

Die beiden Sterne des Doppelsternsystems kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt, und die Masse des Planeten ist so klein, dass er die Bewegung der Sterne praktisch nicht stört. In diesem Fall lassen sich Bedingungen für stabile Planetenbahnen angeben:

1. Der Planet umkreist einen der Sterne und überschreitet einen bestimmten kritischen Abstand a_cS nicht.

2. Der Planet umkreist das Doppelsternsystem und unterschreitet einen bestimmten kritischen Abstand a_cP nicht.

3. Der Planet bewegt sich im Bereich eines der Librationspunkte (Lagrange-Punkte) L4 oder L5

Im 1. Fall ist der Planet so nah bei einem der Sterne, dass dessen Schwerkraft stark genug ist, die Planetenbahn stabil zu halten.

Im 2. Fall ist der Planet so weit entfernt, dass beide Sterne zusammen seine Bahn fast wie ein einziger großer Stern bestimmen.

Im 3. Fall bilden die drei Himmelskörper ein gleichseitiges Dreieck, das um den gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Sterne kreist. Die Ecke des rotierenden Dreiecks, in dem sich der Planet befindet, ist einer der so genannten Lagrange-Punkte L4 oder L5. Die Planetenbahn ist weit gehend stabil, wenn einer der Sterne weniger als etwa 4 % der Masse des anderen hat.

Es gibt drei weitere Lagrange-Punkte L1, L2 und L3, in denen der Planet ebenfalls mit den Sternen mitrotieren könnte. Sie liegen auf der Verbindungsgeraden der Sterne. Aber auf diesen Positionen kann sich der Planet nicht halten. Bereits kleine Störungen durch äußere Kräfte bringen ihn auf eine instabile Bahn.

Das Dreikörperproblem

Wenn mehr als zwei Himmelskörper ins Spiel kommen, wird die Berechnung der Planetenbahnen deutlich komplexer. Das so genannte Dreikörperproblem lautet dann: Für drei Himmelskörper mit bestimmter Masse, die sich unter dem Einfluss ihrer Schwerkräfte bewegen und deren Anfangsbedingungen bekannt sind, bestimme man ihre Bahnen.

Die Anfangsbedingungen sind die Orte und Geschwindigkeiten der Himmelskörper zu einem bestimmten Zeitpunkt, ab dem man die Bahnen berechnen will.

Für das Dreikörperproblem in dieser uneingeschränkten Form sind keine Bahngleichungen wie z. B. Ellipsen oder Parabeln bekannt. Daher berechnet man die Bahnen der Köper meistens näherungsweise durch numerische Integration der Bewegungsgleichungen für einen bestimmten Zeitraum.

Das kann prinzipiell so aussehen:

1. Die drei Körper starten an bestimmten Positionen mit bestimmten Geschwindigkeiten und Flugrichtungen (Anfangsbedingung). Man nimmt vereinfachend an, dass die Kräfte sich eine kurze Zeitspanne lang nicht ändern. (In Wirklichkeit ändern sich die Kräfte, da sich die Abstände der Körper ständig ändern.)

2. Man berechnet aufgrund der Anfangsbedingungen und der eingefrorenen Kräfte die Positionen, Geschwindigkeiten und Flugrichtungen der Körper am Ende der Zeitspanne.

3. Diese Daten nimmt man als Anfangsbedingungen der nächsten Zeitspanne und berechnet mit den Kräften, die an den neuen Positionen wirken, die neuen Enddaten der aktuellen Zeitspanne.

4. Man schreitet auf diese Weise von Zeitspanne zu Zeitspanne fort bis der gewünschte Zeitraum durchschritten ist. Sind die gewählten Zeitspannen zu groß, wird die Berechnung zu ungenau, sind sie zu kurz, erhält man wegen der vielen Rechenschritte zu viele Rundungsfehler.

Wie berechnet man die Regionen, die stabile Planetenbahnen ermöglichen?

Die Regionen um Doppelsterne, die stabile Planetenbahnen erlauben, werden hauptsächlich durch Computersimulationen untersucht. Um zumindest einen groben Eindruck der Stabilitätätsbedingungen zu bekommen, kann man dabei folgendermaßen vorgehen:

1. Da die Masse des Planeten im Vergleich zur Masse der Sterne verschwindend klein ist, beeinflusst er die Bahnen der Sterne nicht wesentlich. Das Dreikörperproblem wird in diesem Fall vereinfacht zum so genannten eingeschränkten Dreikörperproblem. Die Bahn der Sterne wird also praktisch nur durch ihre gegenseitigen Anziehungskräfte bestimmt. Von jedem der Sterne aus gesehen scheint es, als ob der andere ihn kreisförmig oder elliptisch umrundet. Ihre Verbindungslinie beschreibt dabei einen Kreis oder eine Ellipse.

2. Für die beiden Sternen werden die Anfangsbedingungen des Startzeitpunktes festgelegt: Position, Geschwindigkeit und Richtung. Da bekannt ist, wie sich Himmelskörper auf Kreis- und Ellipsenbahnen bewegen, kann man stattdessen auch die Eigenschaften der Ellipse, das Massenverhältnis der beiden Sterne und ihre Position zum Startzeitpunkt angeben.

3. Für den Planeten werden ebenfalls die Anfangsbedingungen festgelegt. Man kann im einfachsten Fall von einer anfänglichen Kreisbahn um einen der Sterne ausgehen. Wenn man den Abstand zum Startzeitpunkt vorgibt, ist bei der vorausgesetzten Kreisbahn dadurch gleichzeitig die Anfangsgeschwindigkeit des Planeten festgelegt.

4. Ausgehend von verschiedenen Startbedingungen werden die Bewegungen des Planeten per Computer simuliert. Dazu werden die Bewegungsgleichungen des eingeschränkten Dreikörperproblems per Computer numerisch integriert. Nebenher wird ständig geprüft, ob der Planet einem der Sterne zu nah kommt oder aus dem Sternsystem herausgeschleudert wurde.

Die Anzahl der Rechenschritte simuliert eine bestimmte Zeitspanne der Wirklichkeit, zum Beispiel die Zeit, in der die beiden Sterne 10000-mal umeinander kreisen. Die Erfahrung zeigt, dass instabile Bahnen häufig schon kurzfristig erkennbar sind, langfristige Instabilitäten können trotzdem nicht ausgeschlossen werden.

Da diese Simulation für verschiedene Anfangsbedingungen des Planeten durchgerechnet wird, kann man erkennen, für welche Abstände die Planetenbahn eine Mindestzeitspanne stabil bleibt. Man erhält also den so genannten kritischen Abstand a_cS zum Stern, der nicht überschritten werden sollte, damit die Planetenbahn mindestens eine bestimmte Zeit stabil bleibt. Ist der Abstand größer, ist auch der Einfluss des zweiten Sterns größer, und die Planetenbahn wird schneller instabil.

5. Ähnlich kann man den kritischen Abstand acP bestimmen, der nicht unterschritten werden sollte, wenn der Planet das Doppelsternsystem umkreist.

Der kritische Abstand

Nach ähnlichen wie dem oben beschriebenen Verfahren haben einige Wissenschaftler die kritischen Abstände eines Planeten zu den Sternen seines Doppelsternsystems bestimmt. Der so genannte kritische Abstand acS des Planeten zu dem Stern, den er umkreist, darf nicht überschritten werden, damit die Bahn lange Zeit stabil bleibt, der Planet also keinem der Sterne zu nahe kommt und nicht aus dem Sternsystem herausgeschleudert wird. Wenn der Planet das Doppelsternsystem als Ganzes umkreist, gibt es ebenfalls einen kritischen Abstand a_cP, der allerdings nicht unterschritten werden darf, damit die Bahn stabil bleibt.

Solche Berechnungen wurde unter anderem von den Forschern Matthew Holman und Paul Wiegert durchgeführt:

M. Holman & P. Wiegert: Long-term stability of planets in binary systems, 1999, Astron. J. , 117, 621-628.

Das Beispiel für Alpha Centauri folgt unten.

Aus ihren Computersimulationen haben sie empirische Gleichungen für die kritischen Abstände abgeleitet:

a_cS = ( 0,464 - 0,380µ - 0,631e + 0,586µe + 0,150e² - 0,198µe² ) a_d

und

a_cP = ( 1,60 + 5,10e - 2,22e² + 4,12µ - 4,27eµ - 5,09µ² + 4,61e²µ² ) a_d.

Hierbei ist µ = M₂ / ( M₁ + M₂ ), und die Masse, die nicht im Zähler steht (hier M₁), ist die Masse des Sterns, der vom Planeten umkreist wird. Zudem ist M₂ die kleinere (oder gleich große) Sternmasse, wenn der Planet das Doppelsternsystem umkreist.

Damit die Gleichungen innerhalb weniger Fehlerprozente gültig sind, muss gelten:
0,1 ≤ µ ≤ 0,9 sowie 0,0 ≤ e ≤ 0,8 (für acS) oder 0,0 ≤ e ≤ 0,7 (für a_cP)

e ist die Exzentrizität des Doppelsternsystems; sie gibt an, wie langgezogen die Bahnellipse der Sterne ist: e = Abstand eines Ellipsenbrennpunktes vom Zentrum der Ellipse / große Halbachse; für Ellipse: 0 < e < 1, für Kreis: e = 0.

a_d ist die große Halbachse der Bahnellipse der Sterne, ngegeben z.B. in AE.

a_cS1 und a_cS2 sind der kritischer Abstand zum Stern 1 und zum Stern 2 in denselben Einheiten wie a_d.

a_cP ist der kritischer Abstand zum Doppelsternsystemin denselben Einheiten wie a_d.

Beispiel: Alpha Centauri

Die sonnenähnlichen Sterne des Doppelsternsystems Alpha Centauri beispielsweise sind zwischen 11 und 36 AE voneinander entfernt. (1 AE, Astronomische Einheit, entspricht dem Abstand Erde-Sonne). Ihr durchschnittlicher Abstand von 24 AE ist etwa der Abstand 1,3 x Sonne-Uranus. Die beiden Sterne umkreisen sich etwa alle 80 Jahre auf stark elliptischen Bahnen. - Es gibt außerdem einen weiter entfernten Begleistern, Proxima Centauri, der nur schwach oder gar nicht an das Doppelsternsystem gebunden ist. Teilweise wird Alpha Centauri daher als Dreifachsternsystem bezeichnet.

Nach den Berechnungen von Holman und Wiegert betragen die kritischen Abstände zum massereicheren Stern 2,79 AE und zum masseärmeren 2,54 AE. Planeten, die die beiden sonnenähnlichen Sterne in keinen größeren Abständen umkreisen, sollten also stabile Bahnen haben.

Ein erdähnlicher Planet mit stabiler Bahn um einen Stern des Alpha-Centauri-Systems in einem lebensfreundlichem Abstand - nicht zu heiß und zu kalt - wäre demnach prinzipiell möglich. Ob Alpha Centauri tatsächlich Planeten besitzt, ist bisher nicht bekannt.