Die Raketengrundgleichung wurde 1903 von Konstantin E. Ziolkowski gefunden. Mit ihr lässt sich die Endgeschwindigkeit einer Rakete nach Brennschluss berechnen:
In ihrer einfachsten Form gilt sie nur ohne äußere Kräfte wie Schwerkraft und Luftreibung sowie für den Flug in einer Keplerbahn. Δv steht hierbei für die Geschwindigkeitsänderung der Rakete zwischen der Zündung der Triebwerke und dem Brennschluss. mZ bezeichnet die Anfangsmasse der Rakete bei der Zündung der Triebwerke und mB die Endmasse bei Brennschluss. Die Raketenmasse ist dann um den verbrauchten Treibstoff verringert. Das Vorzeichen der Ausströmgeschwindigkeit w des Arbeitsmediums (z.B. Verbrennungsgase bei chemischen Antrieben) hängt davon ab, ob der Schub in Flugrichtung (+) oder zum Abbremsen in Gegenrichtung (-) wirkt.
Einschub: Konstantin Eduardowitsch Ziolkowski
- lebte von 1857 bis 1935
- war russisch-sowjetischer Wissenschaftler und einer der Begründer der Raumfahrt
- untersuchte ab etwa 1885 theoretisch und praktisch die Raketen- und Raumflugtechnik
- viele seiner Ideen und Konzepte wie das Flüssigkeitstriebwerk, die Kreiselsteuerung und das Stufenprinzip finden sich in der modernen Raumfahrt wieder
Ausströmgeschwindigkeit und Massenverhältniss
Die Raketengrundgleichung verdeutlicht die Bedeutungen der Ausströmgeschwindigkeit w und des so genannten Massenverhältnisses R := mZ/mB: Die Geschwindigkeitsänderung Δv oder das so genannte Antriebsvermögen steigt nur logarithmisch mit mZ/mB. Denn für ein größeres Δv wird mehr Treibstoff benötigt, und das Mehr an Treibstoff muss wiederum mitbeschleunigt werden. Um eine höhere Endgeschwindigkeit zu erreichen, muss daher das Massenverhältnis überproportional gesteigert werden. Das Schaubild links zeigt das ideale Antriebsvermögen Δv einer Rakete in Abhängigkeit vom Massenverhältnis R und der Auströmgeschwindigkeit w (die Schubrichtung wird nicht berücksichtigt).
Doch selbst mit extremer Leichtbauweise lässt sich das Antriebsvermögen nicht beliebig steigern, da eine Rakete nicht nur aus Treibstoff bestehen kann, sondern eine stabile Struktur, Triebwerke, Steuerungssysteme usw. benötigt. Außerdem soll sie schließlich eine Nutzlast transportieren. Für Raketen mit chemischen Triebwerken liegt zudem die Ausströmgeschwindigkeit heutzutage unter 4.500 m/s. (Die Ausströmgeschwindigkeit elektrischer Antriebe kann wesentlich über diesem Wert liegen. Ihr Schub ist jedoch zu gering, um mit ihnen von der Erde zu starten.) Das Antriebsvermögen einer heutigen einstufigen Trägerrakete ist daher auf etwa 9 km/s begrenzt. Größere Nutzlasten können damit nicht in den Weltraum befördert werden. - Wie werden dann schwere Satelliten in den Weltraum gewuchtet? Mithilfe des Stufenprinzips.
Das Stufenprinzip
Es macht Raumfahrt mit den zurzeit verfügbaren Techniken erst möglich. Hierbei wird eine kleinere Rakete (Oberstufe, 2. Sufe) von einer größeren Rakete (Unterstufe, 1. Stufe) auf deren Endgeschwindigkeit beschleunigt. Dann wird die Ober- von der Unterstufe getrennt und die Oberstufe gezündet. Es sind mehr als zwei Stufen möglich. Der Vorteil der Raketenstufung ist, dass die Oberstufe nicht die Leermasse der Unterstufe mitbeschleunigen muss und daher die Startmasse mZ der Oberstufe entsprechend klein ist. Alternativ zu dieser Tandem-Stufung wird die Parallel-Stufung eingesetzt, bei der die Einzelstufen nebeneinander angeordnet sind und gleichzeitig aktiv sind. Teile der Parallel-Stufung werden meistens kürzere Zeit betrieben und dann abgeworfen.
Einstufig in den Orbit?
Obwohl sich größere Nutzlasten mit heutigen Antriebstechniken nicht einstufig in den Orbit bringen lassen, wurde in den USA mit wieder verwendbaren einstufigen Systemen wie dem DC-X experimentiert. Denn der Vorteil einstufiger Trägersysteme ist, dass sie relativ einfach zu unterhalten sind. Es müssen beispielsweise keine Stufen miteinander verbunden werden, die Betankung ist einfacher und das nötige Boden- und Wartungs-Team kleiner. Das ganze System wäre kostengünstiger.
Herleitung der Raketengrundgleichung
Wir beobachten von einem inertialen Bezugssystem aus das Rakete-Strahl-System ohne äußere Kräfte. Dessen Gesamt-Impuls setzt sich entsprechend Gleichung (1) aus dem Impuls der Rakete (2) und dem Impuls des Antriebstrahls (3) zusammen.
In jedem Moment erhöht sich der Impuls des Antriebsstrahls um die momentan ausgestoßene Gasmasse multipliziert mit der momentanen Geschwindigkeit des Gases. Dies spiegelt sich in den Integralen in (3) wider. Z steht hier für den Zeitpunkt der Zündung und B für den Zeitpunkt des Brennschlusses. Punkte stehen für zeitliche Ableitungen.
Wenn keine äußeren Kräfte wie Schwerkraft oder Luftwiderstand wirken, verändert sich der Gesamtimpuls nicht: (4). Ausgeschrieben liefert das (5), worin auch die Ableitung des rechten Integrals aus (3) eingeht.
Die Strahlgeschwindigkeit setzt sich gemäß (6) aus der Geschwindigkeit der Rakete und der Ausströmgeschindigkeit des Antriebstrahls zusammen. Das negative Vorzeichen gilt, wenn der Strahl entgegen der Flugrichtung weist (positiver Schub, Vortrieb). Das positive Vorzeichen gilt, wenn der Strahl in Flugrichtung zeigt (negativer Schub, Bremsen).
(7) bedeutet, dass in jedem Moment die Verringerung der Raketenmasse durch Gasausstoß gleich der Massenzunahme des Antriebstrahls ist.
(6) und (7) eingestzt in (5) liefert (8). Integrieren von (8) ergibt mit (9) und den Definitionen (10) und (11) schließlich die Raketengrundgleichung (12).
Raketengleichung mit Schwerkraft und Luftwiderstand
Startet die Rakete von der Erde aus, muss in (12) die bis zum Brennschluss erreichte Fallgeschwindigkeit berücksichtigt werden durch den Term -g cos(θ) (B-Z) (Erdbeschleunigung g, Flugwinkel θ gegen die Vertikale, Anteil cos(θ) in Flugrichtung). Fallbewegung und Schubbeschleunigung sind unabhängig voneinander. Falls θ sich während des Fluges ändert, muss dieser Term durch das zeitliche Integral ersetzt werden. Die Erdbeschleunigung g kann in Erdnähe als konstant angesehen werden.
Außerdem verringert der Luftwiderstand FR den Geschwindigkeitszuwachs der Rakete um ΔVR. ΔVR ist die durchschnittliche negative Beschleunigung multipliziert mit der Zeitspanne B-Z. Dies lässt sich annähern durch die durchschnittliche Reibungskraft geteilt durch die durchschnittliche Masse der Rakete sowie durch die maximale Luftreibung (bei Maximalgeschwindigkeit, geschätzt nach Δv ohne Luftreibung).
Luftwiderstand:
Geschwindigkeitsverlust durch Luftreibung:
