Im Plasma eines Fusionsreaktors verschmilzt pro Sekunde nur ein kleiner Bruchteil der Atomkerne, die Ausbeute ist also eher klein. Direkte Treffer der Kerne sind selten, da sie Durchmesser in der Größenordnung von 10-15 m haben. Treffen sich trotzdem zwei Kerne, sind sie möglicherweise zu langsam, um ihre elektrische Abstoßung zu überwinden. Eine Kernfusion ist dann nicht möglich. Der so genannte Wirkungsquerschnitt ist ein Maß für die Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit, mit der zwei Kerne verschmelzen, und damit auch ein Maß für die Ausbeute eines Fusionsreaktors.
Wirkungsquerschnitt und Ausbeute
Um uns eine ungefähre Vorstellung von der Ausbeute zu machen, betrachten wir die Kernstöße geometrisch und nehmen an, dass die Häufigkeit der Kernverschmelzungen gleich der Zahl der Kerntreffer ist. Wir gehen von einer gewissen Fläche F und Tiefe Δx einer "Zielscheibe" aus, die pro Kubukzentimeter N Atomkerne enthält. Unsere Zielscheibe enthält also FNΔx Kerne, wobei jeder Kern eine Querschnittsfläche von σ=πr² hat (Kreisfläche mit Radius r). Die Kerne, die wir gedanklich auf unsere Zielscheibe schießen haben ebenfalls eine Querschnittsfläche. Wir können sie allerdings auch als punktförmig annehmen und den Radius der Zielkerne um den Radius der Projektilkerne vergrößern. Dann ist σFNΔx die gesamte Kernfläche, die von den Projektilkernen getroffen werden kann. Ihr Verhältnis zur gesamten Fläche F der Zielscheibe ist daher w=σNΔx. Das ist gleichzeitig die Trefferwahrscheinlichkeit: Würden die Flächen der Zielkerne die Fläche der Zielscheibe überdecken, wäre die Trefferwahrscheinlichkeit w=1, bei halber Überdeckung w=1/2.
Wenn pro Sekunde jeder Quadratzentimeter der Zielscheibe von Φ Projektilkernen durchflogen wird, durchqueren in der Zeit t demnach ΦFt Projektilkerne die Zielscheibe. Davon treffen n=wΦFt=σNΔxΦFt einen Zielkern. Wenn die Dicke Δx der Zielscheibe zu groß ist, wird Φ im Innern immer kleiner, da einige Projektilkerne mit Zielkernen verschmelzen.
Die Zahl der Kernfusionen ist aber nicht die Zahl der geometrischen Treffer n=σNΔxΦFt. Denn Kernreaktionen lassen sich nicht exakt durch Billardphysik beschreiben; hier ist die Quantenphysik zuständig. Daher wird σ im Allgemeinen nicht als geometrische Querschnittsfläche gedeutet, sondern als so genannter Wirkungsquerschnitt oder Reaktionsquerschnitt. Er unterscheidet sich häufig vom geometrische Querschnitt und hängt ab von der Geschwindigkeit der Projektilkerne und der Art der Reaktionspartner.
Die Fusion zweier Kerne ist ein Spezialfall der Reaktionen zwischen Elementarteilchen. Allgemeiner kann der Wirkungsquerschnitt für beliebige Teilchen und ihre Wechselwirkungen definiert werden, beispielsweise für die Kernspaltung von Uran durch Neutronen und die Streuung von Elektronen an der Elektronenhülle eines Atoms.
Der Einschlussparameter
Damit die Kernfusion mehr Energie liefert, als zum Heizen des Plasmas aufgewändet wird, müssen pro Sekunde genügend Atomkerne mit ausreichender Geschwindigkeit zusammenstoßen. Die Stoßhäufigkeit hängt ab vom Wirkungsquerschnitt und der Dichte des Plasmas. Der Wirkungsquerschnitt hängt ab von der Geschwindigkeit der Kerne und somit von der Plasmatemperatur. Je dichter das Plasma ist, je mehr Atomkerne sich also in einem Kubikzentimeter befinden, desto mehr Atomkerne haben die Möglichkeit miteinander zu verschmelzen.
Eine wichtige Größe der Kernfusion ist daher der Einschlussparameter n·τ, wobei n die Plasmadichte und τ die Dauer des Plasmazusammenhalts ist. Damit die Kernfusion mehr Energie liefert, als zur Heizung des Plasmas hineingesteckt wird, muss das so genannte Lawson-Kriterium erfüllt sein: n·τ > 1020 s/m3 für die Fusion von Deuterium und Tritium. Wesentliche Probleme der kontrollierten Kernfusion sind daher, das Plasma extrem aufzuheizen und ausreichend lange zusammenzuhalten.
Lawson-Kriterium
Damit Atomkerne verschmelzen, muss der Brennstoff extrem zum Plasma erhitzt werden. Die Heizenergie soll durch die frei werdende Fusionsenergie mindestens zurückgewonnen werden (Break-even). Die gewonnene Energie lässt sich so abschätzen: Das Plasma enthält pro m³ n Kerne (z.B. n/2 D u. n/2 T) sowie n Elektronen. Bei jeder Kernfusion wird die Energie Q frei. Die Heizenergie kann im Reaktor für die Dauer τ aufrecht erhalten werden, bis die Energie aufgrund ungenügender Wärmedämmung entwichen ist oder sich das Plasma explosiv ausdehnt. Pro m³ und Sekunde verschmelzen σvn²/4 Kerne (v = mittlere Geschwindigkeit; n/2 Kerne pro m³ werden pro Sekunde von vn/2 = Teilchenstrom/m² = n/2m²s mit dem Wirkungsquerschnitt σ getroffen). Während der Einschlusszeit τ wird daher die Energie σvn²Qτ/4 frei. Der davon praktisch verwertbare Anteil ist gegeben durch den Wirkungsgrad η des Fusionsreaktors. Die Heizenergie pro m³ bei der Temperatur T ist 2n3kT/2 = 3nkT (k = Boltzmann-Konstante; 2n Kerne u. Elektronen). Ein Bruchteil ε der Heizenergie wird im folgenden Fusionszyklus genutzt. Die Fusion wird daher energetisch lohnend, wenn (1-ε)3nkT < ησvn²Qτ/4. Links steht die in den aktuellen Fusionszyklus hineingesteckte Energie und rechts die gewonnene Energie. Umgeformt:
nτ > 12(1-ε)kT/ησvQ.
Das ist das so genannte Lawson-Kriterium. Für die D-T-Fusion z.B. muss nτ > 1020 s/m³ sein, wenn ε=η=1/3.
Das Lawson-Kriterium kann durch großes n bei kleinem τ erfüllt werden (z.B. Laser-Fusion) und durch kleines n bei großem τ (magnetischer Plasmaeinschluss). Es gibt aber auch viele Zwischenlösungen.
